PDF EXAMEN EBAU RESUELTO Matemáticas CCSS La Rioja Junio 2015

Aquí puedes descargar el PDF EXAMEN EBAU RESUELTO Matemáticas CCSS La Rioja Junio 2015

A continuación puedes encontrar una explicación paso a paso y detallada de la resolución del examen.

ENUNCIADO

El enunciado puedes descargarlo desde aquí:

https://www.unirioja.es/estudiantes/acceso_admision/PAU/Pau_bachiller/Examenes/junio2015/MatCCSSJUN2015.pdf

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA Prueba de Acceso a la Universidad (LOE) Curso: 2014/2015 Convocatoria: Junio. ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/ OPCIÓN B). 

OPCIÓN A

Parte A1: Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación. Su valor total es de 4 puntos. 

Calcular el área limitada por las parábolas $y=x^2–18$ e $y=–x^2+32$. En la imagen siguiente aparece sombreada el área solicitada. 

Pregunta A1.2 (1 punto)

Consideremos la función definida a trozos 

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}a{x}^2+2bx–11& x<1\\ b{x}^2–ax–1& 1\le x<2\\ x^3+1& 2\le x\end{array}\right.$

Calcular los valores de a y b para que la función dada sea continua. 

Pregunta A1.3 (0.75+0.25 puntos)

Consideremos el conjunto de restricciones 

$\left\{\begin{array}{l}y+2x\le 6\\ 3\le y–x\\ x\ge 0\end{array}\right.$

Dibujar la región factible y encontrar en ella el máximo de la función

$f(x,y)=2(3x+y)$

Pregunta A1.4 (0.75+0.25 puntos)

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}–2& –1\\ 3& 1\end{array}\right)$ . Calcular $A^3$ y $A^{2015}$ .

Pregunta A1.5 (1 punto) 

Supongamos que has quedado a comer con unos amigos en un restaurante y que al llegar ellos ya han pedido tres platos distintos para compartir pero no recuerdan exactamente cuáles son. Has leído la carta y has comprobado que hay doce platos y cinco de ellos no te gustan. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los tres platos que han pedido tus amigos haya alguno que no te guste? 

Parte A2: Resuelve los dos problemas que se proponen a continuación. Su valor total es de 6 puntos. 

Problema A2.1 (1+1+1 puntos)

Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas siguiente: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a\\ 3ax+2ay+az=1\\ ay–2z=2\end{array}\right.$

a) Determinar los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado

b) ¿Existe algún valor para el que el sistema compatible e indeterminado?, ¿e incompatible? 

c) Resolver el sistema para $a=–1$

Problema A2.2 (1+1+1 puntos) 

Para un campamento de verano se ha seleccionado un 40% de las solicitudes presentadas. Un 10% de las solicitudes seleccionadas corresponden a familias numerosas y un 25% de las no seleccionadas también son familias numerosas.

a) Calcula el porcentaje de familias numerosas que han presentado solicitud para el campamento. 

b) Se sabe que una determinada solicitud no corresponde a una familia numerosa, determinar la probabilidad de que haya sido seleccionada para participar en el campamento

c) Se sabe que un 20% de las solicitudes presentadas corresponde a familias monoparentales y, entre ellas, hay un 20% de familias numerosas. Usando el apartado a), calcula el porcentaje de familias no monoparentales y numerosas que han solicitado el campamento. 

OPCIÓN B

Parte B1: Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación. Su valor total es de 4 puntos. 

Pregunta B1.1 (1 punto)

Calcular el área limitada por las parábolas $y=x^2–18$ e $y=–x^2+32$. En la imagen siguiente aparece sombreada el área solicitada. 

Pregunta B1.2 (1 punto)

Consideremos la función definida a trozos 

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}a{x}^2+2bx–11& x<1\\ b{x}^2–ax–1& 1\le x<2\\ x^3+1& 2\le x\end{array}\right.$

Calcular los valores de a y b para que la función dada sea continua. 

Pregunta B1.3 (0.75+0.25 puntos)

Consideremos el conjunto de restricciones 

$\left\{\begin{array}{l}y+2x\le 6\\ 3\le y–x\\ x\ge 0\end{array}\right.$

Dibujar la región factible y encontrar en ella el máximo de la función

$f(x,y)=2(3x+y)$

Pregunta B1.4 (0.75+0.25 puntos)

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}–2& –1\\ 3& 1\end{array}\right)$ . Calcular $A^3$ y $A^{2015}$ .

Pregunta B1.5 (1 punto) 

Supongamos que has quedado a comer con unos amigos en un restaurante y que al llegar ellos ya han pedido tres platos distintos para compartir pero no recuerdan exactamente cuáles son. Has leído la carta y has comprobado que hay doce platos y cinco de ellos no te gustan. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los tres platos que han pedido tus amigos haya alguno que no te guste? 

Parte B2: Resuelve los dos problemas que se proponen a continuación. Su valor total es de 6 puntos. 

Problema B2.1 (1+1+1 puntos) 

Sea la función $f\left(x\right)=\frac{x^2–5x+4}{{(x+2)}^2}$ .

a) Determinar los cortes con los ejes de la función y, en caso de haberlas, sus asíntotas. 

b) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos.

c) Usando la información de los apartados anteriores, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función. 

Problema B2.2 (1.5+1.5 puntos)

Se sabe que a lo largo de una campaña la producción de alcachofas en la zona de Calahorra y sus inmediaciones sigue una distribución normal de media 18 toneladas por hectárea con una desviación típica 6 toneladas. 

a) Si se toma una muestra de 25 hectáreas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de producción este comprendida entre 16 y 20 toneladas? 

b) Tomando una muestra de 16 hectáreas, calcula el intervalo de confianza al 90% para la media de producción. 

Tabla abreviada de la normal tipificada:

Z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7258	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7518	0,7549
0,7	0,7580	0,7612	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7996	0,8023	0,8051	0,8079	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9430	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9485	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9700	0,9706

SOLUCIÓN

OPCIÓN A

Parte A1: Responde a cuatro de las cinco preguntas que se plantean a continuación. Su valor total es de 4 puntos. 

Calcular el área limitada por las parábolas $y=x^2–18$ e $y=–x^2+32$. En la imagen siguiente aparece sombreada el área solicitada. 

 

Las funciones  $y=x^2–18$  e   $y=–x^2+32$  son dos parábolas.

Para hallar los extremos de la integral hallamos los puntos de corte entre ambas funciones para lo que resolvemos el sistema que forman:

$\left\{\begin{array}{l}y=x^2–18\\ y=–x^2+32\end{array}\right.$

Resolviendo el sistema, por ejemplo por igualación de las y, tenemos:

$$\begin{gathered} x^2–18=–x^2+32 \\ 2x^2=50 \\ {x}^2=25 \\ x=\pm 5 \end{gathered}$$

Por lo tanto, los puntos de corte tienen x=5 y x=-5, estos serán los límites de la integral que nos dará el área comprendida entre las dos funciones.

Sin embargo, podemos darnos cuenta de que la función es simétrica, por lo que sólo tenemos que hacer la integral en la mitad de las x y multiplicar por dos.

Por ejemplo, hacemos la integral de x=0 a x=5 y la multiplicamos por 2 para obtener el área total.

Nota: Como a la función que queda por encima en el intervalo x=-5 y x=5 que es $y=–x^2+32$ le vamos a restar la que está por debajo en la gráfica      $( y=x^2–18 )$ no tenemos que preocuparnos porque el área pueda salir negativa, por lo que no tenemos que poner el valor absoluto en la integral.

Hacemos la integral para obtener el área:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}=2{\int }_0^5\left[(–{\mathrm{x}}^2+32)–({\mathrm{x}}^2–18)\right]d\mathrm{x}=2{\int }_0^5(–2{\mathrm{x}}^2+50) d\mathrm{x}=2{\left[–2{\mathrm{x}}^2+50\right]}_0^5= \\ 2\left[–2{\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_0^5+50{\left[\mathrm{x}\right]}_0^5\right]=2\left[–2\left(\frac{5^3}{3}–\frac{0^3}{3}\right)+50(5–0)\right]=2(\frac{–250}{3}+250)= \\ =\frac{1000}{3}{\mathrm{u}}^2 \end{gathered}$$

Luego el resultado del área es $\frac{1000}{3} u^2$

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